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Analyse non standard by F. Diener, G. Reeb

By F. Diener, G. Reeb

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A: Commentaire : Au chapit re 1, on a m ontré qu 'une fon ction stan da rd fest int ég rable au sens de Riemann si elle satisfait la p rop ri été suivante : 3D �v(f) � 0 où D est un dé co upage de l 'inte rvalle [0, 1] et �v(f) l 'écart entr e les sommes par vale urs supé rieures et inférieures de f s ur ce découpage. Cette carac téri sation est t ri vialement équivalente à la s ui vante : Ceci s 'éc rit enco re : d'où, par t ransfe rt, y•t� > 0 3'tcpE E 3'tt/J E E

O n trouve une réponse à cette question dans les oeuvres de P. du Bois Raymond, rep rises par G . H . Hardy4 • L'énoncé ci-dessous , par exemple , porte le nom de Lemme de du Bois Raymond : 4 G. H. HARDY Ord� r• of infi n ity, th e lnfinitircalc ul of Paul du B o is Raym o n d, Cam­ bridge University Press, 1 910. 4. 1 . DÉFINITIONS ET PRINCIPE DE CA UCHY 57 Soit -< la relat ion d 'ordre partielle sur l'ensemble des fonctions de R dans R, définie par f -< g <::? limz-oo = O . Soit Un ) une suite de fonctions, croissante pour cette relation.

Indiquer la formule p ou r l'in tég rale dans ce cas. 3. 2 (Formule pour la longueur d'une courbe) Soit f : [a, b] --+ R" une courbe standard de classe C1 et soit L(f) sa longueur L(f) = llf'(t)ll dt. Alors, pour toute� 0, e > 0, on a : J: L(f) = 0 (� ) 11/(a+ne)- f(a+(n+1)e)ll où N est tel qu e a+ Ne$ b

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